Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
Comprendre le Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
Lors d’un match de football, un joueur s’apprête à effectuer un tir libre. Il doit frapper la balle de manière à ce qu’elle passe par-dessus un mur de défenseurs et atteigne le but.
Le tir doit être calculé avec précision pour déterminer la trajectoire parfaite, compte tenu de la gravité et de la force initiale du coup.
Données Fournies:
- La distance entre la balle et le but est de 18 mètres.
- La hauteur du mur de défenseurs est de 2 mètres.
- La balle est frappée à une hauteur initiale de 0,22 mètre.
- La gravité \( g \) est approximativement \( 9,81 \, m/s^2 \).
- L’angle d’élévation du tir est de 30 degrés.
- La vitesse initiale de la balle au moment du tir est de 25 m/s.
Questions:
1. Calculer la hauteur maximale atteinte par la balle.
2. Calculer la distance horizontale parcourue lorsque la balle atteint sa hauteur maximale.
3. Vérifier si la balle passe par-dessus le mur.
4. Déterminer le point où la balle touche le sol.
Correction : Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
1. Calcul de la Hauteur Maximale Atteinte par la Balle
Formule à Utiliser :
\[ h = h_0 + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
Substitution des Valeurs :
- \(h_0 = 0.22 \text{ m} \quad \text{(hauteur initiale de la balle)}\)
- \(v_0 = 25 \text{ m/s} \quad \text{(vitesse initiale)}\)
- \(\theta = 30^\circ \quad \text{(angle d’élévation)}\)
- \(g = 9.81 \text{ m/s}^2 \quad \text{(accélération due à la gravité)}\)
– Calcul du Temps à la Hauteur Maximale
\[ t = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} \] \[ t = \frac{25 \sin(30^\circ)}{9.81} \] \[ t = \frac{25 \cdot 0.5}{9.81} \] \[ t \approx 1.275 \, \text{s} \]
– Calcul de la Hauteur Maximale
\[ h = h_0 + v_0 \sin(\theta) t – \frac{1}{2} g t^2 \] \[ h = 0.22 + 25 \cdot 0.5 \cdot 1.275 – \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (1.275)^2 \] \[ h = 0.22 + 15.9375 – 7.975 \] \[ h \approx 8.183 \, \text{m} \]
2. Calcul de la Distance Horizontale à la Hauteur Maximale
Formule à Utiliser :
\[ x = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t \]
Substitution des Valeurs :
\[ x = 25 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 1.275 \] \[ x = 25 \cdot 0.866 \cdot 1.275 \] \[ x \approx 27.575 \, \text{m} \]
3. Vérification Si la Balle Passe Par-dessus le Mur
Calcul du Temps pour Atteindre le Mur (2 m Horizontalement) :
\[ x = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t \] \[ 2 = 25 \cdot 0.866 \cdot t \] \[ t \approx 0.093 \, \text{s} \]
Calcul de la Hauteur de la Balle au-dessus du Mur :
\[ h = 0.22 + 25 \cdot 0.5 \cdot 0.093 – \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (0.093)^2 \] \[ h \approx 1.33 \, \text{m} \]
La balle n’est pas assez haute pour passer par-dessus le mur de 2 m.
4. Détermination du Point de Chute de la Balle
Calcul du Temps Total de Vol Jusqu’à ce que la Balle Touche le Sol :
\[ 0 = 0.22 + 25 \cdot 0.5 \cdot t – \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2 \] \[ t \approx 2.57 \, \text{s} \]
Calcul de la Distance Horizontale Totale :
\[ x = 25 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 2.57 \] \[ x \approx 55.55 \, \text{m} \]
Réponses aux Questions
- Hauteur maximale atteinte par la balle : Environ 8.18 mètres.
- Distance horizontale à la hauteur maximale : Environ 27.58 mètres.
- Passe-t-elle par-dessus le mur ? Non, la balle n’atteint pas les 2 mètres nécessaires pour passer par-dessus le mur.
- Où la balle touche-t-elle le sol ? La balle touche le sol à environ 55.55 mètres du point de tir, bien au-delà du but.
Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
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