Énergie Potentielle et Cinétique

Énergie Potentielle et Cinétique

Comprendre l’Énergie Potentielle et Cinétique

Un skateboarder décide de descendre une rampe inclinée dans un skatepark. Il commence à partir du sommet de la rampe sans vitesse initiale.

La rampe a une hauteur de 5 mètres et est inclinée à 30° par rapport à l’horizontale. La masse du skateboarder et de son skateboard est de 70 kg.

On néglige les frottements et la résistance de l’air.

Objectif:

Calculer la vitesse du skateboarder à la fin de la descente et l’énergie cinétique acquise.

Données:

  • Hauteur de la rampe : \(h = 5 \, \text{m}\)
  • Angle de la rampe : \(\theta = 30°\)
  • Masse du skateboarder et du skateboard : \(m = 70 \, \text{kg}\)
  • Accélération due à la gravité : \(g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2\)

Questions:

1. Calcul de la longueur de la rampe:

  • Utilisez la relation trigonométrique pour calculer la longueur de la rampe \(L\).

2. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle au sommet de la rampe:

  • Quelle est l’énergie potentielle du skateboarder au sommet de la rampe ?

3. Application du principe de conservation de l’énergie:

  • En négligeant les frottements, appliquez le principe de conservation de l’énergie pour trouver la vitesse du skateboarder à la fin de la descente.

4. Calcul de l’énergie cinétique à la fin de la descente:

  • Calculez l’énergie cinétique du skateboarder à la fin de la descente.

Correction : Énergie Potentielle et Cinétique

1. Calcul de la longueur de la rampe:

  • Relation trigonométrique utilisée: \( \sin(\theta) = \frac{h}{L} \)

Calcul de \(L\) :

\[ L = \frac{h}{\sin(\theta)} \] \[ L = \frac{5 \, \text{m}}{\sin(30^\circ)} \] \[ \sin(30^\circ) = 0.5 \] \[ L = \frac{5 \, \text{m}}{0.5} = 10 \, \text{m} \]

2. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle au sommet de la rampe:

Formule de l’énergie potentielle gravitationnelle :

\[ E_p = m \cdot g \cdot h \]

Calcul de \(E_p\) :

\[ E_p = 70 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 5 \, \text{m} \] \[ E_p = 3433.5 \, \text{J} \]

3. Application du principe de conservation de l’énergie:

  • Principe de conservation de l’énergie :

L’énergie potentielle au sommet se transforme en énergie cinétique en bas de la rampe.

\[ E_p = E_c \]

  • Formule de l’énergie cinétique :

\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]

  • Égalisation des énergies et résolution pour \(v\) :

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ 2gh = v^2 \] \[ v = \sqrt{2gh} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 5 \, \text{m}} \] \[ v = \sqrt{98.1} \] \[ v \approx 9.9 \, \text{m/s} \]

4. Calcul de l’énergie cinétique à la fin de la descente:

Formule de l’énergie cinétique :

\[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 \]

Calcul de \(E_c\) avec la valeur de \(v\) trouvée :

\[ E_c = \frac{1}{2} \cdot 70 \, \text{kg} \cdot (9.9 \, \text{m/s})^2 \] \[ E_c = 0.5 \cdot 70 \cdot 98.01 \] \[ E_c = 3433.5 \, \text{J} \]

Conclusion:

À la fin de la descente, la vitesse du skateboarder est de 9.9 m/s, et il a acquis une énergie cinétique de 3433.5 J.

La conservation de l’énergie permet de démontrer que toute l’énergie potentielle au sommet de la rampe se transforme en énergie cinétique en bas, ce qui est confirmé par les calculs.

Énergie Potentielle et Cinétique

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