Calcul du Travail et de l’Énergie

Calcul du Travail et de l’Énergie

Comprendre le Calcul du Travail et de l’Énergie

Un skieur de masse 60 kg part du repos en haut d’une piste inclinée de 30° par rapport à l’horizontale.

La piste a une longueur de 150 mètres. On néglige les frottements entre les skis et la neige.

Objectif :

Calculer le travail réalisé par la force de gravité lorsque le skieur atteint le bas de la piste et la vitesse du skieur à cet instant, en supposant qu’il ne perd pas d’énergie par frottement.

Données :

  • Masse du skieur m = 60 kg
  • Angle d’inclinaison de la piste \(\theta = 30^\circ\)
  • Longueur de la piste L = 150 m
  • Accélération due à la gravité \(g = 9.8\ m/s^2\)
  • Cosinus de 30° \(\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2\)

Questions :

1. Calculer la hauteur \(h\) de la piste.

2. Calculer le travail \(W\) réalisé par la force de gravité sur le skieur.

3. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, calculer la vitesse \(v\) du skieur à l’arrivée en bas de la piste.

Correction : Calcul du Travail et de l’Énergie

1. Calcul de la hauteur h de la piste

Pour calculer la hauteur \(h\), on utilise la relation

\[ h = L \cdot \sin(\theta) \]

avec \(L = 150 \, \text{m}\) et \(\theta = 30^\circ\).

Après conversion de l’angle en radians, nous obtenons :

\[h = 150 \cdot \sin(30^\circ) = 75 \, \text{m}\]

2. Calcul du travail W réalisé par la force de gravité sur le skieur

Le travail réalisé par la force de gravité est donné par

\[ W = m \cdot g \cdot h \]

où m = 60 kg, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\), et h = 75 m.

En substituant ces valeurs, nous trouvons :

\[ W = 60 \cdot 9.8 \cdot 75 \] \[ W = 44,100 \, \text{Joules} \]

3. Calcul de la vitesse v du skieur à l’arrivée en bas de la piste

La vitesse du skieur en bas de la piste peut être calculée à partir de l’énergie cinétique, en utilisant la conservation de l’énergie mécanique :

\[ E_c = W \]

d’où

\[ v = \sqrt{\frac{2W}{m}} \]

En substituant les valeurs :

\[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 44,100}{60}} \] \[ v \approx 38.34 \, \text{m/s} \]

Résumé des résultats :

  • La hauteur de la piste est de 75 m.
  • Le travail réalisé par la force de gravité est de 44,100 Joules.
  • La vitesse du skieur à l’arrivée en bas de la piste est d’environ 38.34 m/s.

Calcul du Travail et de l’Énergie

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