Application de la Troisième Loi de Kepler

Application de la Troisième Loi de Kepler

Comprendre l’Application de la Troisième Loi de Kepler

La troisième loi de Kepler peut être formulée mathématiquement comme suit :

\[ \frac{T^2}{a^3} = k \]

où \( k \) est une constante qui reste la même pour toutes les planètes orbitant autour du même astre.

Données:

On vous donne les données suivantes pour deux planètes fictives orbitant autour de la même étoile :

Planète X :

  • Demi-grand axe de l’orbite, \( a_X = 1.5 \) unités astronomiques (UA)
  • Période orbitale, \( T_X = 1.75 \) années terrestres

Planète Y :

  • Demi-grand axe de l’orbite, \( a_Y = 4.2 \) UA
  • Période orbitale, \( T_Y \) = inconnue

Question 1:
Calculez la constante \( k \) en utilisant les données de la planète X.

Question 2:
Utilisez la valeur de \( k \) trouvée dans la question 1 pour déterminer la période orbitale \( T_Y \) de la planète Y.

Correction : Application de la Troisième Loi de Kepler

Question 1 : Calcul de la constante \(k\)

Données pour la planète X :

  • Demi-grand axe de l’orbite, \(a_X = 1.5\) unités astronomiques (UA)
  • Période orbitale, \(T_X = 1.75\) années terrestres

Formule utilisée :

\[ k = \frac{T^2}{a^3} \]

Calcul :

\[ k = \frac{1.75^2}{1.5^3} \] \[ k = \frac{3.0625}{3.375} \approx 0.907 \]

La valeur de \(k\) est donc approximativement \(0.907\). Cette constante représente le rapport entre le carré de la période orbitale et le cube du demi-grand axe pour toutes les planètes orbitant autour de la même étoile.

Question 2 : Détermination de la période orbitale \(T_Y\) de la planète Y

Données pour la planète Y :

  • Demi-grand axe de l’orbite, \(a_Y = 4.2\) UA
  • Période orbitale, \(T_Y\) (à trouver)

Formule réarrangée :

\[ T_Y = \sqrt{k \times a_Y^3} \]

Calcul :

\[ T_Y = \sqrt{0.907 \times 4.2^3} \] \[ T_Y = \sqrt{0.907 \times 74.088} \] \[ T_Y \approx \sqrt{67.193} \approx 8.20 \]

Donc, la période orbitale de la planète Y, \(T_Y\), est approximativement \(8.20\) années terrestres.

Conclusion

Les résultats montrent comment la troisième loi de Kepler peut être appliquée pour prédire les périodes orbitales des planètes.

En utilisant les données de la planète X, nous avons calculé une constante \(k\) qui nous a ensuite permis de trouver la période orbitale de la planète Y.

Cette loi met en évidence la relation prévisible entre la distance d’une planète à son étoile et la durée de son orbite, ce qui est crucial pour comprendre les dynamiques des systèmes solaires.

Application de la Troisième Loi de Kepler

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