Chute Libre et Accélération Gravitationnelle

Chute Libre et Accélération Gravitationnelle

Comprendre la Chute Libre et Accélération Gravitationnelle

Un scientifique amateur décide de mener une expérience pour mesurer l’accélération due à la gravité (\(g\)) en laissant tomber une bille en métal depuis une certaine hauteur.

Pour cela, il utilise un chronomètre précis pour mesurer le temps que met la bille à toucher le sol. Il effectue plusieurs essais pour obtenir des résultats fiables.

Données:

1. Hauteur de la chute : \( h = 1.5 \, \text{m} \)

2. Temps mesuré pour la chute (\( t \)) :

  • Essai 1 : \( t_1 = 0.55 \, \text{s} \)
  • Essai 2 : \( t_2 = 0.56 \, \text{s} \)
  • Essai 3 : \( t_3 = 0.54 \, \text{s} \)

Questions:

1. Calcul de la durée moyenne de la chute.

2. Calcul de l’accélération gravitationnelle :

  • En utilisant la formule de la chute libre sans vitesse initiale.
  • Exprimez g et calculez sa valeur.

3. Comparaison avec la valeur théorique de \( g \) :

La valeur théorique de l’accélération due à la gravité sur Terre est \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \).

  • Comparez la valeur obtenue expérimentalement avec la valeur théorique.
  • Discutez des possibles sources d’erreur dans l’expérience.

4. Extension de l’expérience :

  • Si la hauteur de la chute était doublée (\( h = 3 \, \text{m} \)), calculez le nouveau temps de chute théorique.
  • Si la bille était lâchée depuis une hauteur de \( 5 \, \text{m} \), quel serait le temps de chute théorique ?

Correction : Chute Libre et Accélération Gravitationnelle

1. Calcul de la durée moyenne de la chute

\[ t_{\text{moyen}} = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} \]

Substituons les valeurs :

\[ t_{\text{moyen}} = \frac{0.55 + 0.56 + 0.54}{3} \] \[ t_{\text{moyen}} = \frac{1.65}{3} = 0.55 \, \text{s} \]

2. Calcul de l’accélération gravitationnelle

En utilisant la formule de la chute libre sans vitesse initiale :

\[ h = \frac{1}{2} g t_{\text{moyen}}^2 \]

Exprimons \( g \) :

\[ g = \frac{2h}{t_{\text{moyen}}^2} \]

Substituons les valeurs :

\[ g = \frac{2 \times 1.5}{0.55^2} \] \[ g = \frac{3}{0.3025} \] \[ g \approx 9.91 \, \text{m/s}^2 \]

3. Comparaison avec la valeur théorique de \( g \)

La valeur théorique de l’accélération due à la gravité sur Terre est \( g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \).

  • La valeur expérimentale obtenue est \( g \approx 9.91 \, \text{m/s}^2 \).
  • Cette valeur est très proche de la valeur théorique, avec une différence de \( 9.91 – 9.81 = 0.10 \, \text{m/s}^2 \)
  • Les possibles sources d’erreur incluent des imprécisions dans la mesure du temps avec le chronomètre et des variations dans la hauteur de la chute. De plus, des facteurs comme la résistance de l’air pourraient légèrement influencer les résultats.

4. Extension de l’expérience

  • Pour une hauteur \( h = 3 \, \text{m} \) :

\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \] \[ t = \sqrt{\frac{2 \times 3}{9.81}} \] \[ t = \sqrt{\frac{6}{9.81}} \] \[ t \approx \sqrt{0.611} \approx 0.78 \, \text{s} \]

  • Pour une hauteur \( h = 5 \, \text{m} \) :

\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \] \[ t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{9.81}} \] \[ t = \sqrt{\frac{10}{9.81}} \] \[ t \approx \sqrt{1.019} \approx 1.01 \, \text{s} \]

Chute Libre et Accélération Gravitationnelle

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