Descente d’un Skieur sur une Pente Enneigée

Analyse des Forces lors de la Descente

Comprendre l’Analyse des Forces lors de la Descente

Un skieur de masse 70 kg descend une pente inclinée à 30° par rapport à l’horizontale. La coefficient de frottement cinétique entre les skis et la neige est de 0.05.

Données:

  • Masse du skieur (\(m\)) = 70 kg
    \item Angle de la pente (\(\theta\)) = 30\degree
  • Coefficient de frottement cinétique (\(\mu_k\)) = 0.05
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) = 9.81 m/s\(^2\)
  • Force gravitationnelle parallèle à la pente (\(F_{\text{grav, par}}\)) = \(mg\sin(\theta)\)
  • Force de frottement cinétique (\(F_{\text{fric}}\)) = \(\mu_k N\), où \(N = mg\cos(\theta)\) est la force normale.
  • Accélération (\(a\)) = \(\frac{F_{\text{grav, par}} – F_{\text{fric}}}{m}\)
  • Vitesse finale (\(v\)) après avoir parcouru une distance (\(d\)) = \(\sqrt{2ad}\) (en supposant un départ de repos)

Questions:

1. Calculez la force gravitationnelle agissant sur le skieur (composante parallèle à la pente).

2. Déterminez la force de frottement cinétique agissant sur le skieur.

3. Calculez l’accélération du skieur en descendant la pente.

4. En supposant que le skieur part du repos, calculez sa vitesse après avoir parcouru 100 mètres le long de la pente.

Correction : Analyse des Forces lors de la Descente

1. Calcul de la Force Gravitationnelle Parallèle à la Pente

La force gravitationnelle agissant sur le skieur a une composante parallèle à la pente, qui est responsable du mouvement du skieur vers le bas.

Cette composante peut être calculée en utilisant la formule:

\[ F_{\text{grav, par}} = mg\sin(\theta) \]

où \(m = 70\, \text{kg}\) est la masse du skieur, \(g = 9.81\, \text{m/s}^2\) est l’accélération due à la gravité, et \(\theta = 30^\circ\) est l’angle de la pente.

En substituant les valeurs données:

\[ F_{\text{grav, par}} = 70 \times 9.81 \times \sin(30^\circ) \] \[ F_{\text{grav, par}} = 343.35\, \text{N} \]

2. Détermination de la Force de Frottement Cinétique

La force de frottement cinétique qui s’oppose au mouvement du skieur peut être calculée avec:

\[ F_{\text{fric}} = \mu_k N \]

Le coefficient de frottement cinétique est \(\mu_k = 0.05\), et la force normale \(N\) est perpendiculaire à la surface de contact, calculée par

\[ N = mg\cos(\theta) \]

Calcul de \(N\) donne:

\[ N = 70 \times 9.81 \times \cos(30^\circ) \]

\[ F_{\text{fric}} = 0.05 \times N \] \[ F_{\text{fric}} = 29.73\, \text{N} \]

3. Calcul de l’Accélération du Skieur

L’accélération du skieur est déterminée par la différence entre la force gravitationnelle parallèle et la force de frottement, divisée par la masse du skieur:

\[ a = \frac{F_{\text{grav, par}} – F_{\text{fric}}}{m} \]

En substituant les valeurs calculées:

\[ a = \frac{343.35 – 29.73}{70} \] \[ a = 4.48\, \text{m/s}^2 \]

4. Calcul de la Vitesse du Skieur Après 100 Mètres

La vitesse finale du skieur peut être trouvée en utilisant l’équation du mouvement avec une accélération constante:

\[ v = \sqrt{2ad} \]

où \(d = 100\, \text{m}\) est la distance parcourue.

En substituant les valeurs:

\[ v = \sqrt{2 \times 4.48 \times 100} \] \[ v = 29.93\, \text{m/s} \]

Conclusion

Cet exercice montre comment analyser le mouvement d’un skieur sur une pente en tenant compte des forces en jeu, y compris la gravité et le frottement.

La force gravitationnelle entraîne le skieur vers le bas de la pente, tandis que la force de frottement agit dans la direction opposée, réduisant son accélération.

Enfin, en utilisant les principes de la dynamique, nous avons calculé l’accélération du skieur et sa vitesse après avoir parcouru une certaine distance, illustrant l’application des lois de Newton dans des situations concrètes.

Analyse des Forces lors de la Descente

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