Satellite en Orbite Circulaire
Comprendre le calcul du Satellite en Orbite Circulaire
Un satellite est mis en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude où la seule force significative agissant sur lui est la gravité terrestre.
La masse du satellite est de 500 kg et il est en orbite à une altitude de 300 km au-dessus de la surface terrestre.
On néglige la résistance de l’air et tout autre effet non gravitationnel. La masse de la Terre est de \(5.97 \times 10^{24}\) kg et le rayon de la Terre est de \(6.371 \times 10^6\) m.
Questions:
1. Calculer la vitesse du satellite en orbite.
2. Déterminer la période orbitale du satellite.
3. Évaluer la force gravitationnelle agissant sur le satellite.
Correction : Satellite en Orbite Circulaire
1. Calcul de la vitesse du satellite en orbite
Pour trouver la vitesse du satellite en orbite, nous utilisons la formule de la vitesse orbitale, qui est dérivée de l’équilibre entre la force gravitationnelle agissant sur le satellite et la force centripète nécessaire pour maintenir le satellite en mouvement circulaire autour de la Terre.
Formule de la vitesse orbitale:
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
où
- \(G\) est la constante gravitationnelle (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)),
- \(M\) est la masse de la Terre (\(5.97 \times 10^{24} \, \text{kg}\)),
- \(r\) est la distance du centre de la Terre au satellite.
La distance \(r\) est la somme du rayon de la Terre (\(6.371 \times 10^{6} \, \text{m}\)) et de l’altitude du satellite (\(300 \times 10^{3} \, \text{m}\)), ce qui donne \(r = 6.671 \times 10^{6} \, \text{m}\).
En remplaçant ces valeurs dans la formule, nous obtenons:
\[ v = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (5.97 \times 10^{24})}{6.671 \times 10^{6}}} \] \[ v = 7728.31 \, \text{m/s} \]
2. Détermination de la période orbitale du satellite
La période orbitale \(T\) peut être trouvée en utilisant la circonférence de l’orbite et la vitesse orbitale. La formule est:
\[ T = \frac{2\pi r}{v} \]
En substituant \(r = 6.671 \times 10^{6} \, \text{m}\) et \(v = 7728.31 \, \text{m/s}\), nous calculons:
\[ T = \frac{2\pi \times 6.671 \times 10^{6}}{7728.31} \] \[ T = 5423.58 \, \text{s}
\]
Ce qui équivaut à environ 1.51 heures, montrant combien de temps il faut au satellite pour compléter une orbite autour de la Terre.
3. Évaluation de la force gravitationnelle agissant sur le satellite
La force gravitationnelle peut être calculée en utilisant la loi de la gravitation universelle de Newton:
\[ F = G \frac{mM}{r^2} \]
où
- \(m\) est la masse du satellite (500 kg),
- les autres symboles conservent leurs significations précédentes.
En remplaçant les valeurs connues, nous obtenons:
\[ F = (6.674 \times 10^{-11}) \frac{500 \times (5.97 \times 10^{24})}{(6.671 \times 10^{6})^2} \] \[ F = 4476.60 \, \text{N} \]
Cela signifie que la force gravitationnelle agissant sur le satellite, qui le maintient en orbite, est de 4476.60 Newtons.
Satellite en Orbite Circulaire
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