Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

Comprendre la Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

Un satellite est en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude de 300 km au-dessus de la surface terrestre.

La masse du satellite est de 500 kg. On néglige la résistance de l’air et toute autre force extérieure autre que la force gravitationnelle exercée par la Terre.

Données:

  • Rayon de la Terre, \(R_{\text{Terre}} = 6371 \, \text{km}\)
  • Masse de la Terre, \(M_{\text{Terre}} = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Constante gravitationnelle universelle, \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)
  • Altitude du satellite, \(h = 300 \, \text{km}\)
  • Masse du satellite, \(m = 500 \, \text{kg}\)

Questions:

1. Calculer la vitesse orbitale du satellite.

2. Calculer la période orbitale du satellite. 

3. Déterminer la force centripète agissant sur le satellite.

Correction : Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

1. Vitesse Orbitale du Satellite

La distance totale \(r\) du centre de la Terre au satellite est la somme du rayon de la Terre et de l’altitude du satellite:

\[ r = R_{\text{Terre}} + h \] \[ r = (6371 + 300) \times 10^3 \text{ m} \]

La vitesse orbitale \(v\) du satellite est donnée par la formule:

\[ v = \sqrt{\frac{G \cdot M_{\text{Terre}}}{r}} \]

En substituant les valeurs données:

\[ \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 5.972 \times 10^{24}}{r}} \] \[ v \approx 7729.61 \text{ m/s} \]

2. Période Orbitale du Satellite

La période orbitale \(T\) peut être calculée avec la formule:

\[ T = \frac{2\pi r}{v} \]

En substituant la valeur de \(v\) et \(r\) trouvées précédemment:

\[ T = \frac{2\pi (6371 + 300) \times 10^3}{7729.61} \] \[ T  \approx 5422.67 \text{ secondes} \]

Pour convertir en minutes:

\[ T \approx \frac{5422.67}{60} \] \[ T \approx 90.38 \text{ minutes} \]

3. Force Centripète Agissant sur le Satellite

La force centripète \(F_c\) nécessaire pour maintenir le satellite en orbite circulaire est donnée par:

\[ F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} \]

En substituant les valeurs de \(m\), \(v\), et \(r\):

\[ F_c = \frac{500 \cdot (7729.61)^2}{(6371 + 300) \times 10^3} \] \[ F_c \approx 4478.10 \text{ N} \]

Conclusion

Ces calculs montrent que pour un satellite de 500 kg en orbite à une altitude de 300 km au-dessus de la Terre, une vitesse orbitale d’environ 7729.61 m/s est nécessaire.

Cette vitesse lui permet de compléter une orbite autour de la Terre en environ 90.38 minutes. La force centripète agissant sur le satellite pour maintenir cette orbite est d’environ 4478.10 N.

Vitesse Angulaire et Force Centripète d’un Satellite

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